Matrizen mit Numpy

Was lerne ich in diesem Kurs?

Dieses Tutorial führt durch die wichtigsten Matrizenarten in der linearen Algebra und zeigt, wie sie in Python mit Numpy erstellt werden können.

1. Die Nullmatrix

Die Nullmatrix ist eine Matrix, in der alle Einträge gleich 0 sind. In Numpy kann sie mit der Funktion numpy.zeros erstellt werden.

Beispiel: Eine 3x3-Nullmatrix erstellen

import numpy as np

# Eine 3x3-Nullmatrix erstellen
null_matrix = np.zeros((3, 3))

# Visualisierung der Nullmatrix
print("Nullmatrix (3x3):\n", null_matrix)

Ausgabe:

Nullmatrix (3x3):
 [[0. 0. 0.]
  [0. 0. 0.]
  [0. 0. 0.]]

In diesem Beispiel wird eine 3x3-Matrix erstellt, deren alle Einträge den Wert 0 haben.

2. Die Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Einträge entlang der Hauptdiagonale 1 sind und alle anderen Einträge 0. Sie wird oft als Identitätsmatrix bezeichnet. In Numpy kann sie mit numpy.eye erstellt werden.

Beispiel: Eine 4x4-Einheitsmatrix erstellen

# Eine 4x4-Einheitsmatrix (Identitätsmatrix) erstellen
identity_matrix = np.eye(4)

# Visualisierung der Einheitsmatrix
print("Einheitsmatrix (4x4):\n", identity_matrix)

Ausgabe:

Einheitsmatrix (4x4):
 [[1. 0. 0. 0.]
  [0. 1. 0. 0.]
  [0. 0. 1. 0.]
  [0. 0. 0. 1.]]

Hier wird eine 4x4-Einheitsmatrix erstellt, die oft als Identitätsmatrix in Berechnungen verwendet wird.

3. Diagonalmatrix

Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich 0 sind. Die Elemente der Hauptdiagonale können beliebige Werte annehmen. In Numpy kann eine Diagonalmatrix mit der Funktion numpy.diag erstellt werden.

Beispiel: Eine Diagonalmatrix mit bestimmten Werten auf der Hauptdiagonale

# Werte für die Hauptdiagonale definieren
diagonal_values = [10, 20, 30]

# Eine Diagonalmatrix erstellen
diagonal_matrix = np.diag(diagonal_values)

# Visualisierung der Diagonalmatrix
print("Diagonalmatrix:\n", diagonal_matrix)

Ausgabe:

Diagonalmatrix:
 [[10  0  0]
  [ 0 20  0]
  [ 0  0 30]]

In diesem Beispiel wird eine Diagonalmatrix erstellt, bei der die Hauptdiagonale die Werte 10, 20 und 30 enthält.

4. Dreiecksmatrizen

Eine Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der entweder alle Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale gleich 0 sind. Es gibt zwei Arten von Dreiecksmatrizen: obere und untere Dreiecksmatrizen.

Beispiel: Eine untere Dreiecksmatrix erstellen

# Eine 3x3-Matrix erstellen
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

# Untere Dreiecksmatrix erstellen
lower_triangular = np.tril(matrix)

# Visualisierung der unteren Dreiecksmatrix
print("Untere Dreiecksmatrix:\n", lower_triangular)

Ausgabe:

Untere Dreiecksmatrix:
 [[1 0 0]
  [4 5 0]
  [7 8 9]]

Beispiel: Eine obere Dreiecksmatrix erstellen

# Obere Dreiecksmatrix erstellen
upper_triangular = np.triu(matrix)

# Visualisierung der oberen Dreiecksmatrix
print("Obere Dreiecksmatrix:\n", upper_triangular)

Ausgabe:

Obere Dreiecksmatrix:
 [[1 2 3]
  [0 5 6]
  [0 0 9]]

In diesen Beispielen werden die untere und obere Dreiecksmatrix aus einer vorhandenen Matrix extrahiert.

5. Symmetrische Matrix

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, bei der die Elemente symmetrisch zur Hauptdiagonale sind. Das bedeutet, dass die Einträge oberhalb der Hauptdiagonale die gleichen Werte haben wie die Einträge unterhalb der Hauptdiagonale.

Beispiel: Eine symmetrische Matrix erstellen

# Eine symmetrische Matrix erstellen
sym_matrix = np.array([[1, 2, 3], 
                       [2, 4, 5], 
                       [3, 5, 6]])

# Visualisierung der symmetrischen Matrix
print("Symmetrische Matrix:\n", sym_matrix)

Ausgabe:

Symmetrische Matrix:
 [[1 2 3]
  [2 4 5]
  [3 5 6]]

Hier handelt es sich um eine symmetrische Matrix, bei der die Werte oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonale gleich sind.

6. Matrix mit Zufallswerten

Eine Matrix mit Zufallswerten kann in der linearen Algebra verwendet werden, um stochastische Prozesse oder zufällige Ereignisse zu simulieren. Numpy bietet die Funktion numpy.random.rand, um Matrizen mit Zufallswerten zu erstellen.

Beispiel: Eine 3x3-Matrix mit Zufallswerten erstellen

# Eine 3x3-Matrix mit Zufallswerten erstellen
random_matrix = np.random.rand(3, 3)

# Visualisierung der Zufallsmatrix
print("Matrix mit Zufallswerten (3x3):\n", random_matrix)

Ausgabe (Beispielhafte Werte):

Matrix mit Zufallswerten (3x3):
 [[0.123456 0.654321 0.987654]
  [0.345678 0.876543 0.234567]
  [0.567890 0.123987 0.876543]]

Die erstellte Matrix enthält Zufallswerte, die zwischen 0 und 1 liegen.