Kugelstoß Simulation mit Pygame

Die wichtigsten physikalischen Größen beim Kugelwurf sind:

• Startgeschwindigkeit \( v_0 \): Die Geschwindigkeit, mit der das Objekt geworfen wird.

• Wurfwinkel \( \theta \): Der Winkel, unter dem das Objekt relativ zur horizontalen Achse geworfen wird.

• Beschleunigung durch die Schwerkraft \( g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \).

• Zeit \( t \): Die Zeit, die seit dem Wurf vergangen ist.

Hier sind die Formeln für alle vier wichtigen Parameter des Kugelwurfs: Flugzeit, maximale Höhe, Flugweite und Endgeschwindigkeit.

1. Flugzeit (\( t_{\text{total}} \))

Die gesamte Flugzeit ist die Zeit, die die Kugel in der Luft bleibt, bis sie wieder den Boden erreicht.

\[ t_{\text{total}} = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin(\theta)}{g} \]

• \( v_0 \) = Anfangsgeschwindigkeit (m/s)
• \( \theta \) = Wurfwinkel (in Grad)
• \( g \) = Erdbeschleunigung (ca. 9.81 m/s²)

2. Maximale Höhe (\( y_{\text{max}} \))

Die maximale Höhe ist die höchste Position, die die Kugel erreicht, bevor sie wieder zu Boden fällt.

\[ y_{\text{max}} = \frac{(v_0 \cdot \sin(\theta))^2}{2 \cdot g} \]

Hier verwenden wir nur die vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 \cdot \sin(\theta) \), da nur diese zur Höhenänderung beiträgt.

3. Flugweite (\( x_{\text{max}} \))

Die Flugweite ist die horizontale Distanz, die die Kugel zurücklegt, bis sie wieder den Boden erreicht.

\[ x_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}{g} \]

• Der Term \( \sin(2\theta) \) zeigt, dass der maximale Wurf bei einem Winkel von \( \theta = 45^\circ \) erreicht wird.

4. Endgeschwindigkeit

Die Endgeschwindigkeit kann in zwei Komponenten aufgeteilt werden: die horizontale Geschwindigkeit (bleibt konstant) und die vertikale Geschwindigkeit (ändert sich aufgrund der Schwerkraft).

Horizontale Endgeschwindigkeit:

\[ v_{x} = v_0 \cdot \cos(\theta) \]

Vertikale Endgeschwindigkeit:

Die vertikale Geschwindigkeit ändert sich aufgrund der Beschleunigung durch die Schwerkraft. Am Endpunkt (also bei Aufprall) ist die vertikale Endgeschwindigkeit: \[ v_{y} = v_0 \cdot \sin(\theta) - g \cdot t_{\text{total}} \]

Gesamte Endgeschwindigkeit (\( v_{\text{end}} \)):

Die gesamte Endgeschwindigkeit kann durch den Satz des Pythagoras berechnet werden, da sie die Kombination aus horizontaler und vertikaler Geschwindigkeit ist:

\[ v_{\text{end}} = \sqrt{v_{x}^2 + v_{y}^2} \]

Das ergibt die Endgeschwindigkeit der Kugel unmittelbar bevor sie den Boden erreicht.

Pygame Simulation

import pygame
import math

# Initialisiere Pygame
pygame.init()

# Fenstergröße
width, height = 800, 600
screen = pygame.display.set_mode((width, height))
pygame.display.set_caption('Kugelwurf Simulation')

# Farben
WHITE = (255, 255, 255)
RED = (255, 0, 0)

# Physikalische Konstanten
g = 9.81  # Erdbeschleunigung in m/s²

# Kugelparameter
x0, y0 = 50, height - 50  # Startposition (linke untere Ecke)
v0 = 100  # Startgeschwindigkeit in Pixel/s
angle = 45  # Wurfwinkel in Grad
v0x = v0 * math.cos(math.radians(angle))  # Horizontale Geschwindigkeit
v0y = v0 * math.sin(math.radians(angle))  # Vertikale Geschwindigkeit
t = 0  # Zeit in Sekunden
dt = 1 / 25  # Zeitschritt in Sekunden (25 Frames pro Sekunde)

# Clock-Objekt, um die FPS zu kontrollieren
clock = pygame.time.Clock()

# Simulations-Loop
running = True
while running:
    screen.fill(WHITE)

    # Beende das Programm, wenn das Fenster geschlossen wird
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            running = False

    # Kugelposition basierend auf den Gleichungen des Kugelwurfs
    x = x0 + v0x * t
    y = y0 - (v0y * t - 0.5 * g * t ** 2)

    # Zeichne die Kugel
    pygame.draw.circle(screen, RED, (int(x), int(y)), 10)

    # Aktualisiere das Display
    pygame.display.flip()

    # Aktualisiere die Zeit
    t += dt

    # Kontrolliere die Bildwiederholrate (25 FPS)
    clock.tick(25)

    # Beende die Simulation, wenn die Kugel den Boden erreicht
    if y > height - 50:
        running = False

# Beende Pygame
pygame.quit()